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== 简介 ==



《九章算术》是流传到现在中国古代最早的一部数学著作，
'''《九章算术》'''是[[《算经十书》]]中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经多人增补修订而成。



根据研究，[[西汉]]的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在[[东汉]]前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》([[班固]]根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙[[马续]]“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。


[[1984年]]，在湖北出土了[[《算数书》]]书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。



后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽(263)、[[李淳风]](656)等人。刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为[[教科书]]。到了[[北宋]]，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的[[南宋]]翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。此后的[[《四库全书》]]本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。


作为一部世界科学名着，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成日、俄、德、法等多种文字。



== 主要内容 ==


《九章算术》的内容十分丰富，
'''《九章算术》'''全书采用问题集的形式，收有246个与[[生产]]、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（[[题目]]）、答（[[答案]]）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。



《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是：


第一章“方田”：田亩[[面积]]计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除[[四则运算]]的完整法则。后者比欧洲早1400多年。第二章“粟米”：谷物粮食的按[[比例]]折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章“少广”：已知面积、[[体积]]，反求其一边长和径长等；
'''勾股定理求解'''



第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；


第六章“均输”：合理摊派[[赋税]]；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。[[西方]]直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。



第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。


第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示[[线性方程组]]，相当于现在的[[矩阵]]；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了[[负数]]，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪[[印度]]的婆罗摩及多才认识负数。



第九章“勾股”：利用[[勾股定理]]求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，mn。在西方，[[毕达哥拉斯]]、[[欧几里得]]等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。


== 主要特点 ==



《九章算术》确定了中国古代数学的框架，
'''《九章算术》'''以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。



然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和[[证明]]。魏景元四年(263年)，[[刘徽]]给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。


刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的[[思想]]、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。



刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了[[概念]]的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从[[本质]]上揭示了正负数得失相反的相对关系。


《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。



一平面(或立体)图形经过平移或旋转，其面积(或体积)不变。把一个平面(或立体)图形分解成若干部分，各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了[[出入相补原理]]，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的[[公式]]和算法的正确性。


== 数学成就 ==



《九章算术》中的数学成就是多方面的。在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作。“方田”章中系统叙述了约分、通分、比较不同[[分母]]分数的大小以及分数的四则运算。通分时使用的是辗转相减法。在“粟米”、“衰分”、“均输”各章中，有着许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法也是一项创造。如“人出八盈三，人出七则不足四，问人数物价各几何”这类“盈不足”问题的解法，需要给出两次[[假设]]，[[中世纪]]欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪[[阿拉伯]]国家传去的。在几何方面：主要是面积(方田)、体积(商功)计算问题。在代数方面：主要有一次方程组解法、负数概念的引入及其加减法法则、开平方、[[开立方]]、一般二次方程解法等。


《九章算术方程》章共18问，全都是一次方程组问题，未知数最多时可达五个。其解法，首先以竖行用算筹列出各方程的系数，如“方程”章第一题，它相当于求解：
'''《九章算术》'''



3x+2+=39，(1)2x+3+=34，(2)x+2+3=26。(3)列出的筹式如123232311263439[3][2][1]，竖行[1]、[2]、[3]，即相当于上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行连续相减(如以3乘[2]再连续减[1]即可消去x项系数)。“程”是指“计算”、“方”是指这样列出的筹式是方形的，这才是“方程”这一数学术语的原意。《九章算术》中的这项成果，比[[世界]]其它国家和地区的同类成果要早很多年。“方程”章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则。


在《九章算术》中，[[开平方]]和开立方时所列筹式以及演算过程，其意义和求解x=、x=的数值解法是相同的。这样，在开平方的过程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出发，更开宋元时期高次方程数值解法的先声。



== 历史影响 ==


现传本《九章算术》成书于何时，
'''刘徽'''目前众说纷纭，多数认为在[[西汉]]末到[[东汉]]初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释。



关于对《九章算术》所做的注住要有：三国时曹魏刘徽注，唐朝[[李淳风]]注，南宋[[杨辉]]着《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清[[李潢]](？～1811年)所着《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人[[白尚恕]]、[[郭书春]]、李继闵等都有校注本出版。


《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至[[印度]]和阿拉伯，甚至经过这些地区远至[[欧洲]]。



《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。[[1084年]]由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。


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== 参考资料 ==







1、《中国大百科全书》　 中国大百科全书出版社2、《中国少年儿童百科全书》浙江教育出版社3、钱宝琮：《〈九章算术〉及其刘徽注与哲学思想的关系》，载《钱宝琮科学史论文选集》，北京：科学出版社4、http://www.confucius2000.com/confucian/cjzsskgdsxyrxdgx.htm







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